George Cantor

George Cantor y la teoría de conjuntos  

Georg Ferdinand Cantor; San Petersburgo, 1845 - Halle, Alemania, 1918) Matemático alemán de origen ruso. El joven Cantor permaneció en Rusia junto a su familia durante once años, hasta que la delicada salud de su padre les obligó a trasladarse a Alemania. En 1862 ingresó en la Universidad de Zurich, pero tras la muerte de su padre, un año después, se trasladó a la Universidad de Berlín, donde estudió matemáticas (tuvo como profesores a Ernst Kummer, Karl Weierstrass y Leopold Kronecker, entre otros), física y filosofía. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle. 

En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Entre 1874 y 1897, demostró que el conjunto de los números enteros tenía el mismo número de elementos que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos en un segmento es igual al número de puntos de una línea infinita, de un plano y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen «el mismo tamaño».

Cantor consideró estos conjuntos como entidades completas con un número de elementos infinitos completos. Llamó a estos números infinitos completos «números transfinitos» y articuló una aritmética transfinita completa. Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879. 

"El verdadero logro de Cantor fue mostrar que hay infinitos más grandes que otros, algo sencillamente asombroso", señala Roger Penrose, profesor emérito de Matemáticas de la Universidad de Oxford, en conversación con la BBC.

"Entonces no se trata sólo de lo finito y lo infinito. Hay infinidades grandes, otras enormes, otras estupendamente enormes...".

¿Un infinito?

Hasta entonces, todos los infinitos habían sido agrupados bajo un encabezado. Pero Cantor quería saber si algunos infinitos eran más grandes que otros.

Fue la pregunta con la que batalló toda su vida. Cuando finalmente resolvió lo aparentemente imposible, estaba absolutamente convencido de su validez. 

No había un único infinito sino muchos, supo Cantor. Y luego se preguntó si todos los infinitos eran iguales.

El infinito podía ser domesticado y comprendido.

Para quienes tienen los conocimientos suficientes para poderlos apreciar, los teoremas que Cantor son hermosos. 

Cómo contar el infinito 

Cantor, al que le gustaban las preguntas, pensaba en los números como la respuesta a la pregunta: ¿cuántos?

Su gran idea surgió de imaginar que solo teníamos 4 números: 1,2,3 y muchos. 

Para que entendiéramos, nos llevó al mercado.

Imagínate que estás en un mercado. Tú tienes muchas monedas, el tendero tiene muchas naranjas. 

Cantor se dio cuenta de que incluso si no podemos contar (porque el único número que tenemos más allá de 3 es "mucho"), aún podemos saber quién tiene más naranjas o monedas.

Lo que haríamos es emparejar la primera naranja con tu primera moneda, la siguiente naranja con tu segunda moneda, y así sucesivamente, hasta que...

•       Tú te quedas sin monedas (el tendero tenía más naranjas) 

•       Él se queda sin naranjas (tú tenías más monedas)

•       o ambos se quedan sin naranjas y monedas (tenían la misma cantidad).

1, 2, 3 y muchas monedas o naranjas.

Cantor aplicó la misma idea al concepto de infinito.

Descubrió, por ejemplo, que la infinidad de números enteros (1, 2, 3...) tiene el mismo tamaño que el infinito que consiste en números pares (2, 4, 6...).

Pero la sorpresa llegó cuando intentó emparejar números enteros con números decimales. 

Esta vez encontró que siempre hay más números decimales que números enteros.

O dicho de manera más formal: la infinidad de todas las expansiones decimales infinitas de números es un tipo de infinito genuina mente más grande que la infinidad de números enteros.

Demostración 

Consideremos una función cualquiera  𝑓: 𝐴 → 𝑃(𝐴), donde 𝑃(𝐴) es el conjunto potencia de A, entonces demostrar el teorema de Cantor requiere probar que f no es sobreyectiva (exhaustiva). Y para probar que f no es sobreyectiva basta encontrar un subconjunto de A que no sea la imagen de ningún elemento de A a través de f. Cantor consideró un subconjunto particular B definido como:

𝐵 = [ 𝑥 ∈ 𝐴:𝑥 ∈ 𝑓(𝑥)]

 

Cuando A es un infinito numerable

Si se examina la demostración para el caso específico cuando A es un infinito numerable. Sin pérdida de generalidad, se puede tomar A = N = {1, 2, 3, …}, el conjunto de los números naturales. 

Si se supone que N es equinumeroso con su conjunto potencia 𝒫(N). Se analiza una muestra del aspecto de 𝒫(N): 

𝒫(N) contiene infinitos subconjuntos de N, o sea el conjunto de todos los números pares {2, 4, 6,...}, además del conjunto vacío. 

Ahora que tenemos una idea de cómo son los elementos de 𝒫(N), vamos a intentar emparejar cada elemento de N con cada elemento de 𝒫(N) para demostrar que estos conjuntos infinitos son equinuméricos. En otras palabras, intentaremos emparejar cada elemento de N con un elemento del conjunto infinito 𝒫(N), de manera que ningún elemento de ninguno de los dos conjuntos infinitos quede sin emparejar. Este intento de emparejar elementos se vería así: 

 

Teoría de conjuntos 

La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica que permite formular de cualquier otra teoría matemática.¹  

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente flexible y general como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, etc; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. 

 Un diagrama de Venn que ilustra la intersección de dos conjuntos.

La teoría de conjuntos se emplea habitualmente como sistema fundacional de toda la matemática, en particular en la forma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección.⁴ Además de su papel fundacional, la teoría de conjuntos también proporciona el marco para desarrollar una teoría matemática del infinito, y tiene varias aplicaciones en informática filosofía y semántica formal. Su atractivo fundacional, junto con sus paradojas, sus implicaciones para el concepto de infinito y sus múltiples aplicaciones han hecho de la teoría de conjuntos un área de gran interés para lógicos y filósofos de la matemática. La investigación contemporánea sobre la teoría de conjuntos abarca una amplia gama de temas, que van desde la estructura de la línea de números reales hasta el estudio de la consistencia del cardinal grande.

¿Cómo se define un conjunto?

Matemáticamente, consideramos un conjunto una agrupación de elementos perfectamente definidos, ósea, cuando sabemos exactamente qué elementos pertenecen al conjunto.

Para definir un conjunto utilizamos las llaves {}, donde estás encierran sus elementos o la propiedad que los caracteriza.

Los conjuntos pueden estar definidos de dos maneras:

1.      Extensión o enumeración: se nombran todos los elementos que forman el conjunto.

2.      Comprensión o propiedad: se nombra un enunciado que permita afirmar si cualquier elemento pertenece o no al conjunto.

Ejemplo: dado el conjunto N = {días de la semana}.

Si lo definimos por extensión seria:

N = {lunes, martes, miércoles, jueves, sábado, domingo}

Ahora vamos a definir el conjunto por compresión, quedaría de la siguiente manera:

N = {x|x es día de la semana}

Este conjunto se lee: el conjunto N está formado por los elementos x, tal que x es día de la semana.

Para designar un conjunto utilizamos las letras en mayúscula (N, S, P, T, etc.) y cada elemento lo designamos con las letras minúsculas, su representación gráfica se realiza a través de un diagrama de Venn.

Ejemplo:

 Pertenecía en la teoría de conjuntos

Cuando decimos que un elemento está dentro de un conjunto, nos referimos que dicho elemento pertenece al conjunto, para indicar que pertenece se utiliza el símbolo ∈. Ahora, cuando un elemento no está dentro del conjunto, nos referimos a que el elemento no pertenece al conjunto y para indicarlo utilizamos ∉. 

Ejemplo:

 ¿Qué es un conjunto infinito?

Los conjuntos infinitos son todos aquellos conjuntos donde es imposible nombrar su último elemento, puesto que siempre se puede nombrar uno más, por ejemplo:

ℕ    =     {Números    naturales} 

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Para indicar que son conjuntos infinitos se cierra la llave después de puntos suspensivos (…) y así señalar que no hay último elemento.

 

¿Qué es un conjunto finito?

Los conjuntos finitos son todos aquellos conjuntos donde es posible enumerar o nombrar todos sus elementos, si dicho conjunto es un poco extenso se escriben los primeros elementos y luego de puntos suspensivos (…) se coloca el último elemento del conjunto, ejemplo:

B ={los meses del año} 

B = {enero, febrero, marzo, …, diciembre}

Teoría de conjuntos por George Cantor 

La historia de la teoría de conjuntos puede remontarse al trabajo de Georg Cantor, matemático alemán de origen ruso, quien es considerado el padre de dicha disciplina. 

Entre los temas que estudió Cantor destaca, por ejemplo, el de los conjuntos infinitos y los conjuntos numéricos. 

El primer trabajo de Cantor sobre la teoría de conjuntos data de 1874. Además, cabe mencionar que mantuvo un frecuente intercambio de ideas con el matemático Richard Dedekind, quien contribuyó al estudio de los números naturales.

Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos son las distintas agrupaciones en las que se clasifican los números en función de sus distintas características. Se trata de una construcción abstracta que tiene una importante aplicación en las matemáticas. 

Los conjuntos numéricos son los complejos, imaginarios, reales, irracionales, racionales, enteros y naturales, y pueden ilustrarse en el siguiente diagrama de Venn:

Álgebra de conjuntos

El álgebra de conjuntos engloba las relaciones que se pueden establecer entre ellos. 

•       Unión de conjuntos: La unión de dos o más conjuntos contiene cada elemento que está contenido, al menos, en alguno de ellos.

•       Intersección de conjuntos: La intersección de dos o más conjuntos incluye todos los elementos que estos conjuntos comparten o que tienen en común.

•       Diferencia de conjuntos: La diferencia de un conjunto respecto a otro es a igual a los elementos del primer conjunto menos los elementos del segundo.

•       Conjuntos complementarios: El complemento de un conjunto incluye todos los elementos que no están contenidos en dicho conjunto (pero que sí pertenecen a otro conjunto de referencia).

•       Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos incluye todos elementos que están en uno o en otro, pero no en ambos al mismo tiempo.

•       Producto cartesiano: Es una operación que da como resultado un nuevo conjunto. Contiene como elementos los pares ordenados o las tuplas (series ordenadas) de los elementos que pertenecen a dos o más conjuntos. Son pares ordenados si se trata de dos conjuntos y tuplas si son más de dos conjuntos.

Referencias

 

[1]  «Teoría de conjuntos,» [En línea]. Available: https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos. [Último acceso: 29 Enero 2023].

[2]  G. Westreicher, «Teoría de conjuntos - Qué es, definición y concepto | 2023,» 02 Marzo 2021.

[En línea]. Available: https://economipedia.com/definiciones/teoria-de-conjuntos.html. [Último acceso: 29 Enero 2023].

[3]  Y. Rivas, 15 Noviembre 2022. [En línea]. Available: https://www.matemente.com/teoria-deconjuntos/. [Último acceso: 29 Enero 2023].

[4]  «Teorema de Cantor,» [En línea]. Available: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cantor. [Último acceso: 29 Enero 2023].

[5]  T. y. T. E. Fernández, « Biografias y Vidas,» 2004. [En línea]. Available: https://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htm. [Último acceso: 29 01 2023].

[6]  M. d. Sautoy, «Georg Cantor, el matemático que descubrió que hay muchos infinitos y no todos son del mismo tamaño,» 2018 septiembre 2018. [En línea]. Available: https://www.bbc.com/mundo/noticias-45300219. [Último acceso: 29 Enero 2023].